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数学

【2重根号の外し方】問題の解き方と注意点,具体例を用いた公式の証明をご紹介

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この記事では次のような2重根号の外し方について解説します。

\[ \sqrt{3+\sqrt{5}}\]

2重根号の外し方を効率良く学ぶために、次の順で解説していきます!

  • まず「やり方」をマスター
  • なぜこの方法で2重根号が外せるのか?
  • 2重根号を外すの公式の紹介
  • 2重根号の外し方【練習問題】

それでは早速見ていきましょう。

【まずはやり方をマスター!】2重根号の外し方

まずは基本的な問題について、2重根号の外し方を見ていきましょう。

ここではやり方のみをご紹介します(理由は後ほど解説)

問題 次の2重根号を外しなさい
\[ \sqrt{5+2\sqrt{6}}\]

では,この問題を解く手順です。

2重根号の外し方(手順)

Step1 内側のルートの前の数が2であることを確認
Step2 たすと左側の数,かけると内側のルートの中の数となる2つの数を見つける
Step3 Step2で求めた2つの数にルートをつけ,大きい順に並べて+でつなぐ(ルートの中の符号が-なら,-でつなぐ)

解答

手順に沿って2重根号を外します。

Step1 この式は内側のルートの前の数がすでに「2」になっています。

Step2 たすと5,かけると6となる2つの数字を見つけます。今回は「3」と「2」です。

Step3 Step2の2つの数字「3」と「2」にルートをつけ,大きい順に並べて+でつなぎます。

よって答えは
\[ \sqrt{3}+\sqrt{2} \]

となります。

もう一問やってみましょう。

問題 次の2重根号を外しなさい
\[ \sqrt{8-2\sqrt{15}}\]

解答

Step1 この式も内側のルートの前の数がすでに「2」になっています。

Step2 たすと8,かけると15となる2つの数字を見つけます。「5」と「3」です。

Step3 Step2の2つの数字「5」と「3」にルートをつけ,大きい順に並べて-でつなぎます。

よって答えは
\[ \sqrt{5}-\sqrt{3} \]

となります。

(注意)大きい順に並べずに\( \sqrt{3}-\sqrt{5} \)としてしまうと,この数は負の数となってしまうため間違いです。\( \sqrt{8-2\sqrt{15}}\)は正の数であることに注意しましょう。

なぜこのやり方で2重根号が外せるのか?

では、なぜこのような方法で2重根号が外せるのかについて解説をします。

一番最初に扱った問題をもう一度見てください。

問題 次の2重根号を外しなさい
\[ \sqrt{5+2\sqrt{6}}\]

まず最初に,この式の2重根号を外すことができて、\( \sqrt{a}+\sqrt{b}\) なったとしましょう。

\[ \sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\]

この式の両辺を2乗してみます。すると,左辺の外側のルートが外れて

\[ 5+2\sqrt{6}=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\]

となります。ここで右辺を展開します。

\[ 5+2\sqrt{6}=(\sqrt{a})^2+2\cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} +(\sqrt{b})^2\]

よって

\[ 5+2\sqrt{6}=a+b+2\sqrt{ab} \]

となります。

この式の左辺と右辺を比べると\( a \) と\( b \) は

\[ a+b=5,\quad ab=6 \]

とである2つの数であることが分かります。

すなわち,たすと5,かけると6になる2つの数\( a,\; b\) を見つけ,それらにルートをつけて+でつなぐことで,2重根号を外すことができるのです(-の場合も同様)

2重根号を外す公式

ここで2重根号を外す公式をご紹介しておきます。

2重根号を外す公式

\( a>0,b>0\) のとき

\( \sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b} \)

\( a>b>0\) のとき

\( \sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b} \)

これらの公式は,両辺を2乗することで確かめることができます。

2つ目のようにルートの中の符号が-の場合は,\( a>b \) であることに注意しましょう。

\(\sqrt{a}-\sqrt{b}\) と\( \sqrt{a}\) , \( \sqrt{b}\) が大きい順になるように並べます。

※公式を見ると、たして○○、かけて△△となる数を見つければよい理由が分かると思います

2重根号の外し方【練習問題】

ここでは内側のルートの前が2でないときの2重根号の外し方を解説します。

問題 次の2重根号を外しなさい
\[ \sqrt{9+4\sqrt{5}}\]

この問題は内側のルートの前が2でなく4になっています。
2重根号を外すためにはこの部分が2である必要があります。

解答
\begin{align}
&\sqrt{9+4\sqrt{5}}\\
&=\sqrt{9+2\times 2\sqrt{5}}\\
&=\sqrt{9+2\sqrt{2^2\times 5}}\\
&=\sqrt{9+2\sqrt{20}}
\end{align}

これでルートの前が2になりました。あとは最初の問題と同じようにすると2重根号を外すことができます。

たすと9,かけると20になる2つの数を見つけると「5」と「4」なので

\begin{align}
&\sqrt{9+2\sqrt{20}}\\
&=\sqrt{5}+\sqrt{4}\\
&=\sqrt{5}+2 \; \cdots (答)
\end{align}

 

続いて2がないタイプです。

問題 次の2重根号を外しなさい
\[ \sqrt{3+\sqrt{5}}\]

この問題も\(\sqrt{5}\) の前に2がありませんので、次のような変形をしていきます。

\(3+\sqrt{5}\) を分数にして,分母分子に2をかけることで,\(\sqrt{5}\) の前に2を作ります。

\begin{align}
&\sqrt{3+\sqrt{5}}\\
&=\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{1}}\\
&=\sqrt{\frac{(3+\sqrt{5})\times 2}{1\times 2}}\\
&=\sqrt{\frac{6+2\sqrt{5}}{2}}\\
&=\frac{\sqrt{6+2\sqrt{5}}}{\sqrt{2}}\\
\end{align}

これで内側のルートの前が2になりました!

ここで分子\(\sqrt{6+2\sqrt{5}}\) の2重根号を外します。

足すと6,かけると5となる2つの数を見つけると,「5」と「1」なので

\begin{align}
&\sqrt{6+2\sqrt{5}}\\
&=\sqrt{5}+\sqrt{1}\\
&=\sqrt{5}+1
\end{align}

となります。これを用いて,分母を有理化すると次のようになります。

\begin{align}
&\frac{\sqrt{6+2\sqrt{5}}}{\sqrt{2}}\\
&=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{2}}\\
&=\frac{(\sqrt{5}+1)\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}\\
&=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\; \cdots (答)\\
\end{align}

2重根号を外すことができました!

まとめ

今回は2重根号の外し方について解説しました。

公式をもう一度載せておきます。

2重根号を外す公式

\( a>0,b>0\) のとき

\( \sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b} \)

\( a>b>0\) のとき

\( \sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b} \)

2重根号を外すときのポイントは,上の公式を使えるようにするために,内側のルートの前の数字を「2」にすることです。

ここが「2」になれば、たすと○○、かけると△△となる2つの数を見つけることで、2重根号を外すことができます。

ぜひ何度も練習して2重根号の外し方をマスターしましょう。

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数学・統計学
シグマ先生
数学講師/Udemyベストセラー講師/数学の苦手を治します/塾・予備校・高校講師歴20数年/分かりやすい解説/偏差値40から65へ/数学検定対策/数学で困っている人の役に立ちたい

妻・子供2人と4人暮らし。週末はキャンプやスキー、温泉旅行などアクティブに活動中/数学検定1級
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