数学

【集合と要素】集合の表し方と記号の使い方を分かりやすく解説

記事内に商品プロモーションを含む場合があります

本記事では数学Ⅰや数学Aの基礎となる「集合と要素」について、その表し方や記号の使い方を解説していきます。

✓本記事の内容

・数学における集合とは

・集合と要素について

・集合の2通りの表し方

練習問題も用意していますので、解きながら理解を深めていきましょう!

数学における集合とは

普段使う「集合」という言葉と、数学における「集合」は異なります。

集合とは「範囲がはっきりしたものの集まり」のこと

日本語で集合といえば、単なるものの集まりのことを指しますが、数学では「範囲がはっきりしたものの集まり」のことを集合といいます。

次の問を見てみましょう。

 次の集まりは数学における集合といえるか?

(1)  10以下の自然数全体の集まり

(2) 身長170cm以上の人の集まり

(3) 数学ができる人の集まり

(4) かわいいネコの集まり

解答

(1)  10以下の自然数全体の集まり

集合である

 

(2) 身長170cm以上の人の集まり

集合である

 

(3) 数学ができる人の集まり

集合ではない

数学ができるとはどの程度なのか分からないため、範囲がはっきりしていない

 

(4) かわいいネコの集まり

集合ではない

かわいいの基準が明確でないため、範囲がはっきりしていない

このように数学においては「範囲がはっきりしている」もののみを集合として扱います。

 集合と要素について

 要素とは

集合を構成している1つ1つのものを、その集合の「要素」と呼びます。

要素・・・集合を構成している1つ1つのもの

例を見てみましょう。

 A高校の1年生(aさん,bさん,cさん,…)について

aさんはA高校の要素

bさんはA高校の要素

cさんはA高校の要素

このように,集合を構成している1つ1つのものを、その集合の要素といいます。

aさんはA高校に「属する」という言い方もします。

要素を表す記号

要素を表す記号は次のようなものです。

\( a\) が集合\( A \) の要素であるとき,\( a\) は集合に属すると言い、次のように表す.

\( a\in A\)

ここで登場する記号\( \in \)は、アルファベットのUの字を横にして、真ん中に線を一本入れたような形をしていますね。

この記号を使うときは、丸くなっている方を、要素の方に向けて書くようにします。

\(\; a\in A\; \) の順番を逆にして \(\; a\ni A\; \)と書くこともできますよ。

 

逆に\( b \) が集合\( A \) の要素ではない場合は,次のように表現します。

\( b\) が集合\( A \) の要素ではないことを次のように表す.

\( b\notin A\)

\(\; \in \; \)の記号に線を引くことで「\( b \) は集合\( A \) の要素ではない」と否定をします。

集合と要素の練習問題

それでは練習問題を解いてみましょう。

問題 整数全体の集合を\( Z \) とする。次の□の中に,\( \in \) または\( \ni \) のいずれか適するものを書き入れなさい.

(1)  \( 5 □ Z \)

(2) \( \sqrt{2}  □ Z \)

解答

(1) \( 5 \) は整数全体の集合\( Z\) に属しているので

\( 5 \in Z\)

(2) \( \sqrt{2} \)は整数ではありません。整数全体の集合\( Z \) に属していないので

\( \sqrt{2}\notin Z \)

集合の表し方

続いて集合の表し方を見ていきましょう。

表し方を決めて統一しておくことで、だれでも安心して集合を表現していくことが可能になります。

集合には次の2通りの表し方があります。

①要素を書き並べる方法

②要素の満たす条件を書く方法

順番に解説していきます。

①要素を書き並べる方法

まずは要素を書き並べる方法について解説します。

これは,集合の要素が目で見てすぐに分かるので,分かりやすくよく使う方法です。

次のように表現します。

\( 10 \) の正の約数集合\( A \) を,要素を書き並べて表すと

\( A=\{ 1, \; 2,\; 5,\; 10 \} \)

要素を書き並べて書くときの注意点】

①集合は大文字で表し「\( A=\)」のように「\( = \) 」を使う

②中カッコ\( \{ \; \} \) の中に集合の要素を書く

③集合の要素が数字の場合は,原則として小さい順に書く

④要素は「,」で区切って書く

②要素の満たす条件を書く方法

集合のもう1つの表し方として、要素の満たす条件を書く方法もあります。

次のように表現します。

\( 10 \) の正の約数集合\( A \) を,要素の条件を書く方法で表すと

\( A=\{ x\; | \; x\; \) は10の正の約数 \( \} \)

要素の条件を書く方法】

①中カッコ内の最初の部分に,集合を代表する文字や文字式を書く

②仕切り線「\(\;  | \) 」を書く

③仕切り線の右側に,文字が満たす条件を書く

今回は\( 10\) の約数の集合を代表する要素を,文字\( x \) で表し,その文字\( x \)の満たす条件「\( x \) は10の正の約数」を仕切り線の右側に書きます。

要するにこの書き方は、集合の説明を書く方法です。

集合の表し方の練習問題

それでは集合の表し方に関する練習問題を解いてみましょう。

問題 次の集合を,要素を書き並べる方法で表しなさい.

(1) \( 1\) けたの素数の集合\( A\)

(2) \( 30\) 以下の正の偶数の集合\( B\)

解答

(1) \( A=\{ 2,\; 3,\; 5,\; 7 \}\)

素数とは「1とその数自身以外に約数を持たない数」のことです。

ただし,1は除きます。

(2)  \( B=\{ 2,\; 4,\; 6,\cdots ,30 \} \)

30以下の正の偶数をすべて書き並べるのは大変ですので,このように「\( \cdots \) 」

を用いて表現します。

※このように,集合の要素の数が多い場合には省略記号「\( \cdots \) 」を用いて表すことがあります。

 

次に「②要素の満たす条件を書く方法」で表された集合を「①要素を書き並べる方法」で表してみましょう。

問題 次の集合を,要素を書き並べる方法で表しなさい.

(1) \( A=\{  x \; | \; -2≦ x<2,x\) は整数\(  \} \)

(2) \( B=\{ 2n-1\; | \; n\) は自然数\( \}\)

解答

(1) \( A=\{ -2,\; -1,\; 0,\; 1 \}\)

\( -2≦ x<2\) の整数をすべて書き並べます。

\( -2 \) は含み,\( 2 \) は含まないことに注意しましょう。

 

(2)  \( B=\{ 1,\; 3,\; 5,\; \cdots \}\)

今回は要素を代表する文字式が「\( 2n-1\) 」となっており、条件は\( n\) は自然数となっています。したがって各要素は「\( 2n-1\) 」の\( n\) に自然数(\( 1,\; 2,\; 3,\; \cdots \; \) )を代入したものになります。

集合の要素は無限にあるので、省略記号「\( \cdots \) 」を使いましょう。

まとめ

今回は数学における集合と要素の意味、記号の使い方、集合の表し方について解説をしました。

数学における「集合」は、範囲がはっきりと定まるものであり、日常生活で使う集合とは言葉の意味がやや異なりました。

実は、ほとんどすべての数学の対象は集合を用いて表されます。

つまり集合は数学を学習していく際に避けては通れない分野です。

別の記事も追加していく予定ですので、少しずつ集合の考え方や扱い方を身につけていきましょう!

新コース無料プレゼント

シグマ先生が公開しているUdemyコースの

「最安値クーポン」

を差し上げます。

ご希望の方は、登録フォームからご登録をお願いいたします。

※クーポン配信時期は不定期になりますので、ご了承ください。

Udemyクーポンプレゼント登録フォーム

数学・統計学
シグマ先生
数学講師/Udemyベストセラー講師/数学の苦手を治します/塾・予備校・高校講師歴20数年/分かりやすい解説/偏差値40から65へ/数学検定対策/数学で困っている人の役に立ちたい

妻・子供2人と4人暮らし。週末はキャンプやスキー、温泉旅行などアクティブに活動中/数学検定1級
こちらの記事もおすすめ!