条件付き確率の公式と意味を分かりやすく解説します【練習問題あり】

条件付き確率は，確率の分野ではもちろん，統計学においても非常に重要な概念です。

この記事では，条件付き確率の基本的な理解を目指し，条件付き確率の意味や公式の成り立ちについて解説します。

練習問題も用意していますので，問題も解きながら理解を深めていきましょう！

✓本記事の内容

条件付き確率の意味

条件付き確率とは，あることがらが起こったという条件のもとで，別のことがらが起こる確率のことです。

これは，ある事象\( A\) が既に発生したという条件の下で，事象\( B \) がどれだけの確率で発生するかを計算するのに役立ちます。

高校の教科書では一般に記号\( P_A(B) \) が使われていおり，\( P\)の隣にある小さな文字\( A \) が条件を表しています。

\( P(B|A) \) の場合はカッコ内の右側にある文字\( A \) が条件を表す事象です。

それでは，例を見て確認していきましょう。

「取り出した玉が赤玉と分かったとき，その玉にかかれた番号が偶数である確率」ですので，このような確率のことを「条件付き確率」といいます。

条件が「赤玉であるという事象」ですので，求める確率を記号で表すと\( \; P_A(B) \; \)となりますね。

ここで，ベン図を見てみましょう。

「取り出した玉が赤玉であると分かったとき」とありますので，ここでは全事象を赤玉は5個と考えます。

そして，５個の赤玉の中で番号が偶数である玉は\(\{ 2,\;\; 4\} \) の2個あるので，求める確率は

\[ P_A(B) =\frac{2}{5} \]

と確率を求めます。

これが条件付き確率の求め方です。

 

ポイント！

条件付き確率では、全事象を、条件に相当するものに変えてしまう。

条件付き確率の公式（個数バージョン）

一般に，全事象を\( U \) とするとき，2つの事象\( A，B\) について，条件付き確率\( P_A(B)\) は次の式で定義されます。

分子の\( A \cap B \) は\( A \) と\( B \) の積事象，すなわち\( A \) と\( B \) がともに起こる事象です。

分母が\( n(A) \) となっていることから分かるように，条件付き確率\( P_A(B)\) においては

条件である事象\( A \) を全事象と考えるのがポイントです!

今回は条件が「取り出した玉が偶数であるという事象」なので，求める確率を記号で表すと\( \; P_B(A) \; \)となります。偶数は\( \{ 2,\; 4,\; 6,\; 8 \} \) の４個あり，このうち赤玉は\( \{ 2,\; 4\}\) の2個なので

\begin{align}
P_B(A) &=\frac{n(B\cap A) }{n(B)}\\
&=\frac{2}{4}\\
&=\frac{1}{2}
\end{align}

となります。

条件である\( B\) を全事象と考えているのが分かりますね。

条件付き確率の公式（確率バージョン）

条件付き確率は確率の比として表現することもできます。

次の条件付き確率の公式において，分母と分子をそれぞれ\( n(U) \)　で割ってみましょう。

\begin{align}
P_A(B) &=\frac{n(A\cap B) }{n(A)} \\
&=\frac{\frac{n(A\cap B)}{n(U)} }{\frac{n(A)}{n(U)}}
\end{align}

ここで
\[\frac{n(A\cap B)}{n(U)}=P(A\cap B) \]
\[\frac{n(A)}{n(U)}=P(A) \]
であることを用いると，次の条件付き確率の公式（確率バージョン）を導くことができます。

それでは，この式を利用した問題を解いてみましょう。

解答

入場者全体から人が

「大学生であるという事象」を\( A \)

「前売り券で入場したという事象」を\( B \)

とすると，問題文から

\[ P(A)=\frac{45}{100}\]
\[ P(A\cap B)=\frac{20}{100}\]
であることが分かります。

求める確率は，条件付き確率\( P_A(B) \) なので

\begin{align}
P_A(B)&=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} \\
&=p(A\cap B)\div P(A)\\
&=\frac{20}{100}\div \frac{45}{100}\\
&=\frac{20}{100}\times \frac{100}{45}\\
&=\frac{20}{45}\\
&=\frac{4}{9}
\end{align}

このように，条件付き確率の公式（確率バージョン）を用いて答えを導くことができました。

条件付き確率の問題例

解答

選ばれた1人が

「女子であるという事象」を\( F\)

「電車通学をしているという事象」を\( A\)

とすると

\[ P(F)=\frac{24}{40} \]
\[ P(F\cap A)=\frac{10}{40} \]

よって，求める確率は
\begin{align}
P_F(A)&=\frac{P(F\cap A)}{P(F)}\\
&=P(F\cap A)\div P(F)\\
&=\frac{10}{40}\div \frac{24}{40}\\
&=\frac{10}{40}\times \frac{40}{24}\\
&=\frac{5}{12}
\end{align}

となります。ここでは確率バージョンの公式を用いました。

個数バージョンの公式を用いて，次のように簡単に求めることも可能です。

別解

選ばれた1人が

「女子であるという事象」を\( F\)

「電車通学をしているという事象」を\( A \)

とすると
\begin{align}
P_F(A)&=\frac{n(F\cap A)}{n(F)}\\
&=\frac{10}{24}\\
&=\frac{5}{12}
\end{align}

 

それではもう１問解いてみましょう。

解答

選ばれた1人が

「男子であるという事象」を\( M\)

「検定試験に合格しているという事象」を\( A\)

とすると

\[ P(M)=\frac{3}{3+2}=\frac{3}{5} \]
\[ P(M\cap A)=\frac{40}{100} \]

よって，求める確率は
\begin{align}
P_M(A)&=\frac{P(M\cap A)}{P(M)}\\
&=P(M\cap A)\div P(M)\\
&=\frac{40}{100}\div \frac{3}{5}\\
&=\frac{40}{100}\times \frac{5}{3}\\
&=\frac{2}{3}
\end{align}

※今回扱っている条件付き確率は，数学者を含めた大論争になったといわれているモンティホール問題でも登場します。興味のある方はこちらの記事もぜひご覧ください！

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まとめ

条件付き確率の公式は「個数」と「確率」両方で表現することができました。

個数で表現

\[ P_A(B) =\frac{n(A\cap B) }{n(A)} \]

確率で表現

\[ P_A(B) =\frac{P(A\cap B) }{P(A)} \]

この条件付き確率の公式は，確率の乗法公式やベイズの定理などにつながる重要な公式です。

ぜひ，きちんと理解して使えこなせるようにしておきましょう。