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数学

【図で理解】乗法公式を図形の面積を用いて導く|マイナスが含まれていても大丈夫です


今回は、乗法公式(展開の公式)を図で理解する方法について解説していきます。

乗法公式が、最初に出てくるのは中学3年生。その後、高校の数学Ⅰでも登場し、数学のあらゆる場面で現れる重要な公式です。

乗法公式は展開の方法を使ってカッコをはずせば、すべて導くことは可能です。

でもそれだけでは、あまり面白くない。

そこで、本記事では図形の面積、特に長方形の面積を用いて乗法公式を読み解いていきます。

(参考)次のインド式計算も同じ考え方です!

【図で理解】「10の位が同じで1の位の和が10」のインド式かけ算とその証明 「\( 10\) の位が同じで\( 1\) の位の和が\( 10\) 」である\( 2\) 桁×\( 2\) 桁のかけ算...

今回扱う乗法公式(展開の公式)は以下の4つです。

乗法公式

\begin{align}
&① (a+b)^2=a^2+2ab+b^2\\
&② (a-b)^2=a^2-2ab+b^2\\
&③ (a+b)(a-b)=a^2-b^2\\
&④ (x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab
\end{align}

これらの公式を、図形の面積を用いて導いていきます!

それでは見ていきましょう。

乗法公式\( (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \)を図で理解

まずは\(\;  (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \; \) です。

左辺の\( \; (a+b)^2 \; \) は次のような正方形の面積となります。

これを、バラバラにして次のように並べます。

上の図を式で表すと、面積が\( \; ab \; \) である長方形が2つあることから,\( a^2+2ab+b^2\) となります。したがって

\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \]

を図形の面積で示すことができました!

乗法公式\( (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \)を図で理解

次に\(\;  (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \; \) です。

左辺の\( \; (a-b)^2 \; \) は次のような正方形の面積となります。

この図の色をつけた部分の面積\( \; (a-b)^2\; \) は次のように図を用いて表すことができます。

まずは1辺が\( a \) である正方形の面積から、面積が\( ab \) である細長い長方形を2つ引きます。最初の図の白い部分を取り除いていくわけです。すると、1辺が\( b \) の正方形\( b^2\) を引きすぎてしまうので、最後に\( b^2\)を加えるわけです。

上の図の面積を式で表すと\( a^2-2ab+b^2\) なので

\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \]

を図で示すことができました!

乗法公式\( (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \)を図で理解

次は\(\;  (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \; \) です。

通称「和と差の積の公式」と呼ばれているものです。

この式をそのまま図形の面積で表すのはやや難しいので、式の左辺と右辺を入れ替えた次の式で考えていきます。

\[ a^2-b^2=(a+b)(a-b) \]

を考えてみましょう。

左辺の\( a^2-b^2\) は下の図の色をつけた部分になります。

1辺が\( a \) の正方形の面積\( a^2\) から、1辺が\( b \) の正方形の面積\( b^2 \) を引いたものです。

ここで図の点線より上の長方形を切り取って、右下へ移動します。

すると次の図のような細長い長方形となります。

この図の面積を式で表すと\( (a+b)(a-b) \) となるので

\[ a^2-b^2 =(a+b)(a-b) \]

を図で示すことができました。この式の左辺と右辺を反対にして

\[ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \]

とすれば、最初の乗法公式になります。これで和と差の公式も図で導くことがきました!

乗法公式\( (x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab \)を図で理解

最後に、公式\(\;  (x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab \; \) を図で導いていきます。

これはそれほど難しくありません。

左辺の\( \; (x+a)(x+b) \; \) を図で表すと次のようになります。

これをバラバラにして,面積が\( ax \) の長方形と\( bx \) の長方形を組み合わせると、次のようになります。

上の図を式で表すと\( \; x^2+(a+b)x+ab \; \)となるので

\[ (x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\]

が成り立つことがわかりますね!

まとめ

今回は、次の4つの乗法公式を、図形の面積を用いて導いてみました。

\begin{align}
&① (a+b)^2=a^2+2ab+b^2\\
&② (a-b)^2=a^2-2ab+b^2\\
&③ (a+b)(a-b)=a^2-b^2\\
&④ (x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab
\end{align}

②と③はやや難しかったかもしれません。

公式にマイナスが含まれていても、今回のように工夫すれば、図形の面積で公式を理解することができるのです。この事実は興味深いですよね!

次の本には、\( a^2-b^2=(a+b)(a-b) \) の公式を、台形を使って表現する方法が記載されています。台形のとがった部分の角度が45°であることを見抜く必要がありますが、とても興味深い方法です!

今回は以上です。
最後までお読みいただき、ありがとうございました。

 

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