数学

2次式の乗法公式(展開の公式)はすべて同じ式から導かれる!

本記事では2次式の乗法公式(展開の公式)を、1つの式から導いていく方法について解説していきます。

中学と高校の数学Ⅰで学ぶ2次式の乗法公式(展開の公式)は以下の通りです。

2次式の乗法公式

\begin{align}
&\fbox{1-1}\;\; (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \\
&\fbox{1-2}\;\; (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \\
&\fbox{2}\;\;\;\;\; (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \\
&\fbox{3}\;\;\;\;\; (x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab \\
&\fbox{4}\;\;\;\;\; (ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd
\end{align}

\( \fbox{4} \) は高校の数学Ⅰで学びます。

乗法公式は左辺を展開することで証明できますが、実はある1つの式から導くことができるのです。

たくさんある乗法公式が実は1つにつながっていた、ということが分かると世界が広がりますよ!

まずは全体の流れから見ていきましょう。

2次式の乗法公式はどのようにつながっているか

2次式の乗法公式
\begin{align}
&\fbox{1-1}\;\; (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \\
&\fbox{1-2}\;\; (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \\
&\fbox{2}\;\;\;\;\; (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \\
&\fbox{3}\;\;\;\;\; (x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab \\
&\fbox{4}\;\;\;\;\; (ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd
\end{align}

公式\( \fbox{4} \) から公式\( \fbox{3} \) 、公式\( \fbox{3} \) から公式\( \fbox{1-1} \) と公式\( \fbox{2} \) が導かれます。

最後に公式\( \fbox{1-1} \) から公式\( \fbox{1-2} \)を導くことができます。

公式を導く順番
\begin{align}
\fbox{4}→\fbox{3}→\left\{
\begin{array}{l}
\fbox{1-1}→\fbox{1-2} \\
\fbox{2}
\end{array}
\right.
\end{align}

公式4の導き方

2次式の乗法公式の生みの親となる「公式4」の導き方を確認しておきましょう。

まず分配法則を用いてカッコを外し、\( x\) について同類項をまとめます。
\begin{align}
(ax+b)(cx+d)&=acx^2+adx+bcx+bd \\
&=acx^2+(ad+bc)x+bd
\end{align}

これで公式4を導くことができました。

\( adx+bcx=(ad+bc)x \) が同類項をまとめる操作です。

公式4から公式3を導く

まずは公式4から公式3を導きます。

\[ \fbox{4}\;\;(ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd \]

公式4において\( a=1,\; c=1,\; b=a,\; d=b \) とおきかえてみましょう。

すると次の公式3が導かれます。

\[ \fbox{3}\;\;(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab \]

公式3から公式2を導く

次に公式3から公式2を導きます。

\[ \fbox{3}\;\; (x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab \]

公式3において,まず\( a=-b \)とおきかえると

\[ (x-b)(x+b)=x^2-b^2 \]

すなわち

\[ (x+b)(x-b)=x^2-b^2 \]

となります。次に、この式で\( x=a \)とおきかえます。

すると

\[\fbox{2}\; (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \]

が導かれました。

公式3から公式1-1を導く

続いて公式3から公式1-1を導きます。

\[ \fbox{3}\;\;(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab \]

公式3において,まず\( a=b \)と置きかえると

\[ (x+b)^2=x^2+2bx+b^2 \]

あとは,\( x=a \)と置きかえます。

\[ \fbox{1-1}\;\; (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \]

これで公式1-1が導かれました。

公式1-1から公式1-2を導く

最後に公式1-1から公式1-2を導きます。

この考えはぜひとも身につけておきましょう。

\[ \fbox{1-1}\;\; (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \]

上の公式1-1で,\(b \) を\( -b \) に置きかえます。すると

\begin{align}
(a+(-b))^2&=a^2+2a(-b)+(-b)^2 \\
(a-b)^2&=a^2-2ab+b^2
\end{align}
となり

\[ \fbox{1-2}\;\; (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \]

が導かれました。

まとめ

今回は2次式の乗法公式が、\( \fbox{4}\) から次々と導かれることをご紹介しました。

※乗法公式4も分配法則を暗算で行っているにすぎません。

2次式の乗法公式
\begin{align}
&\fbox{1-1}\;\; (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \\
&\fbox{1-2}\;\; (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \\
&\fbox{2}\;\;\;\;\; (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \\
&\fbox{3}\;\;\;\;\; (x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab \\
&\fbox{4}\;\;\;\;\; (ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd
\end{align}

中学や高校の教科書では乗法公式は分配法則を使って展開をすることで導くのが普通ですが、今回ご紹介したように1つの式から文字の置き換えによって導くこともできるのです。

全く別物だと思っていた公式が、実は1つにつながっていたことが理解していただけたのではないでしょうか。

数学の世界の神秘的な側面を少しだけでも感じていただけたら嬉しいです。

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