高校野球、テニスの世界大会、サッカーワールドカップの決勝などで行われるトーナメント戦。
今回はトーナメント戦の試合数を一瞬で求める方法と、その方法が成り立つ理由について解説していきます。
試合数の求め方だけではなく、数学的な意味についても一緒に考えていきましょう。
トーナメント戦とは
図はあるテニスの大会で，A～Hの８チームが勝ち抜きで優勝を争う組合せ表です。
この表のように，各試合での勝者どうしが試合を続け、最後に優勝チームが１チーム決まる試合方法をトーナメント戦と呼びます。
トーナメント戦と対比して使われる試合方法にリーグ戦があります。
リーグ戦は参加チームがどのチームとも１回だけ試合を行う試合方法です。
リーグ戦とその総試合数の計算方法についてはこちらの記事をご覧ください。
チーム数が同じなら組み方を変えても試合数は変わらない
トーナメント戦では、チーム数が同じならその組み方を変えても試合数が変わらないという性質があります。
例えば４チームでトーナメント戦を組んだ場合、上の図のように全く組み方が異なっても、試合数はともに３試合です。
理由は後ほど解説しますが、これは興味深い事実です。
組み方によって試合数が変わってしまうと困ってしまうのですが、そのようなことは起こりえないのです。
トーナメントの試合数を一瞬で求める方法
それでは、トーナメントの試合数を一瞬で求める方法をご紹介します。
理由は後ほど解説するとして、まずは結論から。
（トーナメントの試合数）＝（チーム数）ー１
です。つまり、トーナメントに参加するチームの数から１を引くと、総試合数を求めることができます。
例えば上のトーナメント表だとチーム数が８チームなので、総試合数は
（チーム数）ー１＝８−１＝７（試合）
となります。
図においても、試合数が①〜⑦の７試合になっていることを確かめることができますね。
それでは練習問題を解いてみましょう。
問題 高校野球に出場する４９チームがトーナメント戦を行う。このときの総試合数を求めなさい。
解答 ４９－１＝４８（試合）
組み方に関わらず、チーム数から１を引くだけで総試合数が求まります。
これはとても便利です。
トーナメントの試合数が（チーム数）ー１である理由
それでは公式
（トーナメントの試合数）＝（チーム数）ー１
が成り立つ理由について解説します。
（試合数）＝（負けチームの数）
次の図はA，B，C，D ４チームによるトーナメント戦を表しています。
赤線が勝ち上がった様子を表していて、Aチームが優勝しています。
ここでは、どの試合でどのチームが負けたかを見てみましょう。
つまり負けチームに着目してみるのです。
※優勝したAチーム以外のB，C，Dチームはどこかで試合に負けています。
| 試合①で | Bが負け |
|---|---|
| 試合②で | Cが負け |
| 試合③で | Dが負け |
この表から明らかですが、各試合においてちょうど１チームだけ負けチームが決まります。
つまり試合数と負けたチームが１対１で対応していて
（試合数）＝（負けチームの数）
となっているのです。
もう少しチーム数の多いケースでも確認してみましょう。
次の図はA，B，C，D，E，F，G，Hの8チームによるトーナメント戦を表しています。
同様に負けたチームに着目してみましょう。
※優勝したAチーム以外のB，C，D，E，F，G，Hチームはどこかで試合に負けています。
| 試合①で | Bが負け |
|---|---|
| 試合②で | Cが負け |
| 試合③で | Eが負け |
| 試合④で | Gが負け |
| 試合⑤で | Dが負け |
| 試合⑥で | Fが負け |
| 試合⑦で | Hが負け |
この表からも、各試合においてちょうど１チームだけ負けチームが決まっているのが分かると思います。
つまり試合数と負けたチームが１対１で対応していて
（試合数）＝（負けチームの数）
となっているのです。
「各試合は負けチームを１チーム生み出しているもの」
と考えてもよいでしょう。では続けます。
（試合数）＝（チーム数）ー１
上の２つの例で、負けチームと試合数が１対１で対応していて
（試合数）＝（負けチームの数）
となることが分かりました。ここで、負けチームは何チームあるのでしょうか？
トーナメント戦では優勝チーム以外のチームは必ず１回どこかで試合に負けます。
ということは
（負けチーム数）＝（チーム数）ー１
となっていることが分かりますね。
以上により
（試合数）＝（チーム数）ー１
がいえます。
（トーナメントの試合数）＝（チーム数）ー１
上の式が成り立つということは、「チーム数が同じであれば、トーナメントの組み方を変えたとしても試合数は変わらない」ということでもあります。
したがってトーナメントでは組み方をどのように変えても試合数が変わることはないのです。
まとめ
今回はトーナメントの試合数について考えてきました。
「負けチーム」と「各試合」が１対1で対応しているため、
（試合数）＝（負けチーム数）
がいえました。そして優勝する１チーム以外はどのチームも負けるので、
（負けチーム）＝（チーム数）ー１
です。これより
（試合数）＝（チーム数）ー１
であることが分かりました。
ここでのポイントは
「各試合は負けチームを１チーム生み出しているもの」
という見方をすること。
この視点でトーナメントをとらえることで試合数を簡単に求めることができたのです。
物事の見方を変えていくことはとても重要です。
１つの現象に対してもいろいろな見方ができるということを覚えておいてください。
今回は以上です。
最後までお読みいただきありがとうございました。
