今回はマセマシリーズ「スバラシク実力がつくと評判の統計学」の使い方についてご紹介していきます。
本書は使い方を間違えると挫折する可能性があり、実際に私自身もプチ挫折しました。
もちろん上手に使えば、確実に合格へと導いてくれる非常に優れたテキストです。各章ごとの具体的な使い方をご紹介していきますので、是非参考にしてみてください。
数学検定１級の確率・統計の分野は得点源にしやすい分野です。１次検定・２次検定ともにある程度出題パターンが限られているため、比較的短時間で仕上り、難問もそれほど出題されません。
とはいえ、統計学を初めて学習する場合には、少し手ごわい分野に感じるかもしれません。他の数学の分野とは違う独特な考え方が必要とされる分野だからです。
そこで、多くの受検者の頼りになる本として、マセマシリーズの
「スバラシク実力がつくと評判の統計学（キャンパスゼミ）」
が有効です。このシリーズは、分かりやすいく丁寧な解説が売りのテキストで、著者の馬場敬之先生が隣で語り掛けてくれるように講義が進んでいきます。式変形等も詳しい解説があり、基礎から応用まで対応可能であるオススメの本です。
しかし、統計を初めて学習する方が本書の使い方を誤ると、間違いなく挫折します。
実は、私自身も１回挫折し、しばらく統計の勉強が進まない時期がありました。
本書は噛めば噛むほど味がでてくるスルメのような本で、上手く本書を使いこなすことで、統計学を大きな武器にすることも可能です。最終的に私も「統計」で「ほぼ満点をとれる」という自信がつきました。
それでは、どのようにしてこの「マセマの統計学」を使っていったらよいか、各章ごとの内容と合わせて解説していきます。
マセマ統計学の使い方の要点
緩急をつける
マセマ統計学は易しい部分と難しい部分の差が大きいです。
１回目に取り組むときは、難しい部分に無理にこだわらず、進めることが大切です。
全部を１ページ目から完璧に理解する！という意気込みで取り組むと、挫折する確率が高くなります。
難しいと思う部分は思い切って飛ばし、まずは統計学の全体像をつかむことに重きを置くようにしましょう。
微分積分を勉強してから取りかかる
確率統計を学習する際には、微分積分の知識が必須です。
もちろん、微積の知識なしでも問題を解くことは可能ですが、重要事項の背景となっている部分を学ぶ際には、必ず必要となってきます。
本書を読む際に必要な微積の項目は以下の通りです。
- 偏微分
- マクローリン展開
- 重積分、無限積分
- ヤコビアン（変数変換）
- ガンマ関数・ベータ関数
要点だけを押さえるのであっても、偏微分と重積分の知識は身につけておきましょう。
数検１級に出題されやすい分野を見極める
マセマ統計学を最初から最後まですべてマスターするのは、統計学初学者にとっては大変骨が折れます。正直、挫折する可能性が高くなります。
そこでまずは、過去問などで数学検定１級に出題される問題の傾向をしっかりとつかむことが重要です。
そのうえで、本書で必要な部分を勉強していく、というスタンスがいいでしょう。
まず過去問 → 参考書・問題集で詳しく学習
という順番を意識しましょう。
なお、「マセマ統計学」の中で数検１級でどこが出題されやすいか、どこを後回しにするか、については本記事を参考にしてください。
統計学には難しい証明が多いことを理解しておく
本書では、統計学のさまざまな重要事項について、厳密な証明がなされています。基礎から解説があるといえども、使う道具がやや高度なので、証明を追っていくだけで大変です。
統計学の本には、本書のように、きちんと証明をしながら進めていく本と、推定や検定など実践に重きを置いた本があります。
統計学で必要な知識の証明をすべてマスターするのは「難しい」ということを覚えておきましょう。
電卓を使いながら、実際に計算をする
推定や検定の分野では電卓が必ず必要です。解説だけ読んで分かった気になっても、実際の問題は解けません。面倒でも、すべての問題で電卓を使って実際に解いてみる必要があります。
ちなみに、関数電卓はより良いものを選びましょう。私は、大学時代から何十年も使っていた関数電卓を、前回の検定前にリニューアルしました。使い勝手の良さに感動しました。時間短縮効果も期待できますよ。
講義１ 離散型確率分布
講義１の最初に出てくる、ベイズの定理は後回しにしてもよいと思います。
ただし、ベイズの定理を学習することで、条件付き確率の理解は深まります。演習問題もそれほど難しくありませんので、チャレンジしてみても良いでしょう。
少なくとも、条件付き確率だけはきちんと理解しておきましょう。
後半には、モーメント母関数による表現が登場します。この部分は理解できれば、流し読みで十分です。ただし、このモーメント母関数は連続型確率分布で大きな役割を果たします。
ここでマクローリン展開が登場しますので、微積の学習が前提になります。
講義１で出てくる、二項分布や期待値・分散の話はすべての基本になるので、しっかりとマスターしておきましょう。
講義２ 連続型確率分布
１次検定でよく出題される問題がいくつか出てきます。
最後の方で出てくる「確率変数の変換と確率密度の変化」はやや理解しにくいところです。
私は結構苦労しました。この部分については、１回目は軽めにやるか飛ばしてもいいと思います。
講義３ ２変数の確率分布
ここは大事な分野です。
講義３で出てくる性質や公式は確実に覚えておきましょう。
ヤコビアンが登場しますので、やはり微分積分の知識が前提となってきます。
最後の、たたみ込み積分は理解するのにかなりの時間がかかります。１回目はカットでいいでしょう。
私はここで完全に挫折しかけました。
なんとなく、こんな感じなのかな、ということがイメージできれば十分です。初めての方にとっては、イメージも難しいかもしれません。
やはり、この部分は後回しでいいと思います。やるなら相当覚悟して臨んでください。
講義４ ポアソン分布と正規分布
モーメント母関数を用いて、ポアソン分布・正規分布の期待値と分散を求めます。
ここも、流れを追っていくのに結構苦労しました。
ポアソン分布は１次検定でよく出題されます。出題パターンはほぼ決まっていますので、およそのところが理解できたら、過去問に当たった方が効率的です。仕組みの部分はこだわらなくても大丈夫です。
ちなみに、ポアソン分布の確率密度関数の形は覚えていなくても解ける問題がほとんどだと思います。
正規分布の確率密度関数を求める証明も骨が折れます。
数学検定で点数を取るだけならあまり必要ないので、結果だけざっくりと覚えて、証明は流し読みでもいいと思います。
正規分布と誤差関数の関係は飛ばしていいでしょう。
最後に中心極限定理の証明があります。
私は１回目、ここで完全にくじけました。
本書には「何度も繰り返し頑張ろう」とうことが書いてありますが、かなり大変です。証明ができるようになるまで繰り返せば、確かに力はつきますが、最初の段階では結果だけ覚えおけば十分でしょう。
結構しんどかったです。
講義５ カイ２乗分布、ｔ分布、F分布
統計学でよく使われる重要な分布を導いていく講義です。ここも大変です！
この章の内容を理解するためには、ガンマ関数やベータ関数の知識が必要です。やはり、微積は一通り学んでおいた方が、理解しやすくなります。
１級の検定で、分布の式を求めるような問題が直接出題されることはほとんどないと思います。分布を導く部分については、「なんとなく、こんな感じかな」という程度の理解があれば、大丈夫だと思います。
まとめにある、様々な式についても、覚える必要性はそれほど感じませんでした。
講義６ データの整理（記述統計）
頻出かつ重要な分野です。ここはしっかりと取り組みましょう。
母集団そのものの分布やそれを特徴づける平均・分散・共分散・相関係数などが登場します。
特に１級でよく出題される、回帰直線を最小２乗法で求める問題は確実にマスターしましょう。回帰直線は、頻出です！
ちなみに、回帰直線を求める式は暗記しておいた方がよいでしょう。
回帰直線を求める問題は、計算量が多くなります。理解するだけではなく、実際に電卓を使って式を求める練習をしっかりとしておくことが必須です。
講義７ 推定
頻出分野です。何度も繰り返しましょう。この章は読みやすいと思います。
点推定よりも区間推定が圧倒的に多く出題されます。
必ず、電卓を用いて、自分の手を動かしながら、計算してみましょう。
この章に関しては、講義の最後にある重要事項もしっかりと頭に入れます。
ここを勉強するときは、母分散や母平均が既知なのか未知なのか、頭の中を整理しながら進めていきます。
ポイントとしては、「白紙の状態から、重要事項を書き出せるレベルまで持っていく」ことです。式をなんとなく理解しているというレベルでは、実際の問題ではつまづく可能性が高いので注意しましょう。
区間推定の方法にはいくつかのパターンがあるため、頭に入りにくいですが、繰り返し勉強しながら、全体像をつかんでいきましょう。
講義８ 検定
ここも頻出分野です。何度も繰り返し学習しましょう。
この章も問題なく読み進められると思います。
まずは、検定の考え方を頭に叩き込みます。検定の流れを１から説明できるぐらいに練習した方がいいです。
この分野では、様々な統計量が出てきますが、できるだけ覚えるようにしましょう。
一度に覚えようとするとしんどいですが、繰り返し問題を解きながら頭に入れていくとよいです。
自由度など規則がわかってくると、覚えやすくなります。
ここでも、どんな時に、どの統計量を使うのかを白紙の状態から再現できるように頑張ってみてください！
なお、本書の演習問題は、検定の流れをある形式に当てはめて解かせるようになっています。これは、分かりやすい反面、この形式を忘れてしまうと解けなくなるというデメリットにもなります。
本書で検定を学んだら、必ず過去問等にもう一度あたり、解答を再現できるようなトレーニングをしましょう。
まとめ
マセマシリーズの統計学は、基礎から厳密な証明までを丁寧に解説してくれている素晴らしいテキストです。この本は私の統計学のバイブル的な存在となっています。
しかし、講義２の後半から講義５までがやや理解しにくく、やっかいな証明もいくつかありるため、最初は使いにくさを感じました。
実際に私も、講義４や講義５のあたりで、「ちょっと統計嫌だな」という気分になり、プチ挫折しました。
様々な証明は、統計学を学ぶには避けて通れない部分なのですが、数検１級合格だけを考えるのであれば、最初はあまりこだわりすぎないことが大切です。
今回ご紹介したように、本書を使う場合、検定に出題される可能性の低い部分については深入りせず、頻出分野については何度も繰り返すといった具合に、緩急をつけて取り組むことが大切です。
私は本書を３回くらい繰り返しましたが、繰り返したのは講義６～８などが中心でした。
是非、本書を上手に使いこなして、統計で満点を目指しましょう！
