数学

【簡単】計算順序はこれだけ覚えればOK!【高校数学へのアプローチ】

・ 計算の順序がよくわからない

・ 計算の順序をきちんとマスターしたい!

・ 高校数学を勉強するための基礎を固めたい!

こんな悩みに答えます。

本記事では四則演算(+,-,×,÷)における「計算の順序」について解説します。

✔︎本記事の内容

・計算の順序はこれだけ覚えればOK

・練習問題にチャレンジ

・計算順序には例外もある!?

高校に入ると「計算の順序」「知っていて当然のルール」であり,改めて確認することは少なくなります。

しかし,計算が苦手な生徒は,この計算順序をきちんと理解していないケースが結構あります。

計算の順序は本記事の内容を覚えておけば,まず困ることはありません!

後半では「計算の順序の例外」についても触れていますので,ぜひ最後までお読みください。

それでは,さっそく見ていきましょう。

「計算の順序」はこれだけ覚えればOK!

四則演算(+,-,×,÷)は以下の順序で行います。

この優先順位を覚えておけばまず困ることはありません!

計算は以下の順番で進めます。

【計算の順序】

① カッコの中

② 2乗,3乗など(累乗という)

③ \( \times ,\; \div \)

④ \( + ,\; – \)

※同じ順位どうしの場合 → 左から計算!

※2乗,3乗,\( \cdots \) のことをまとめて「累乗(るいじょう)」と呼びます。

「同じ順位どうし」というのは,主に③と④の場合です。
例を見てみましょう

【例】

\[ 10-4+3\]

上の式では,「-」と「+」がありますが,これらは「同じ順位④」です。

この場合は,左から順に計算を進めます。

\begin{align*}
10-4+3=6+3=9
\end{align*}

左から計算を進めずに,\( 4+3 \) から計算してしまうと

\begin{align*}
10-4+3=10-7=3
\end{align*}
となり,間違いとなりますので注意しましょう。

練習問題にチャレンジ!

それでは,練習問題を解きながら「計算順序」を身につけていきましょう!

再度,「計算の順序」をのせておきますね。

【計算の順序】

① カッコの中

② 2乗,3乗など(累乗という)

③ \( \times ,\; \div \)

④ \( + ,\; – \)

※同じ順位どうしの場合 → 左から計算!

 

問題1

\( 2\times (3+4) \)を計算しなさい。

【解答】

「計算順序①」により,カッコの中を先に計算します。

\begin{align*}
2\times (3+4)&=2\times 7\\
&=14
\end{align*}

問題2 \( 8-2\times 3 \)を計算しなさい。

【解答】

「計算順序②③」より,「-」より「×」を先に計算します。

\begin{align*}
8-2\times 3&=8-6\\
&=2
\end{align*}

問題3

\( 9+3\times 2^2 \) を簡単しなさい。

【解答】

「計算順序②③④」から「2乗」→「×」→「+」の順に計算をします。

\begin{align*}
9+3\times 2^2&=9+3\times 4\\
&=9+12\\
&=21
\end{align*}

問題4

\( 12\div 2\times 3 \) を簡単しなさい。

【解答】

この式では,「÷」と「×」がありますが,これらは「同じ順位③」です。

したがって,左から順に計算を進めます。

\begin{align*}
12\div 2\times 3&=6\times 3\\
&=18
\end{align*}

【誤答例】
左から計算を進めずに,\( 2\times 3 \) から計算してしまうと,
\begin{align*}
12\div 2\times 3&=12\div 6\\
&=2
\end{align*}
となり,間違いとなりますので注意しましょう。

計算順序には例外もある!?

今回ご紹介した「計算順序」には例外もあります。

それは,次の”結合法則”を使う場合です。

結合法則

”結合法則”という名前は難しそうですが,実際には小学校で習うやさしいものですので,安心してください!

【結合法則】
「たし算」または「かけ算」のときだけ成り立つ法則です。

\( A+(B+C)=(A+B)+C \)

\( A\times (B \times C)=(A\times B)\times C \)

カッコは先に計算するので,結合法則を一言で言うと

「たし算だけの式」「かけ算だけの式」は

どこから計算してもOK!

ということが言えます。

計算法則の例外【結合法則を利用した場合】

結合法則の具体例を見てみましょう。

【例1】
\[ (2+3)+4=2+(3+4) \]

カッコは先に計算するので,上の式は

「\(\;  2+3\; \)を先に計算してから\(\;  4 \; \) を足しても,\(\;  3+4\; \)を先に計算してから\(\;  2 \; \) に加えても,同じ結果になる」

ということを意味しています。

【例2】
\[ (2\times 3)\times 4=2\times (3\times 4) \]

この式も同じように

「\( \; 2\times 3\; \)を先に計算してから\( \; 4 \; \) をかけても,
\( \; 3\times 4\; \)を先に計算してから\( \; 2 \; \) にかけても,同じ結果になる」

ということを意味しています。

つまり,「たし算のみ」または「かけ算のみ」の計算はどこから計算しても,結果は同じになるのです!

同じ順位どうしの計算は「左から計算」というルールでしたが,「たし算のみ」「かけ算のみ」の計算の場合は,どこから計算しても大丈夫です。

これが計算順序の例外です。

「ひき算」と「わり算」も結合法則が使える?

結合法則は「ひき算」や「わり算」では使えません。

ただし,「ひき算をたし算に」「わり算をかけ算」に直せば,結合法則を使うことができます!

例を見てみましょう。

【例3】
ひき算をたし算に直す場合は,マイナスの前に「+」が省略されている事実を使います。

\[ 2-3-4=2+(-3)+(-4)\]

このようにひき算は負の数のたし算に直すことができます。

すべて「たし算」に直すことができれば,どこから計算しても大丈夫です。

\( \; 2+(-3)\; \) を計算してから\( \; (-4)\; \) をたしても,\(\;  (-3)+(-4)\; \) を計算してから\( \; 2\; \) に加えても,同じ結果となります。

【例4】
わり算をかけ算に直すには,分母と分子をひっくり返せばOKです。

\[ 3\times 4 \div 2 =3\times 4 \times \frac{1}{2} \]

このようにわり算をかけ算に直すことができます。

\( \; 2\; \) は\( \; \displaystyle\frac{2}{1} \; \) と同じですので,分母と分子をひっくり返すと\( \; \displaystyle\frac{1}{2} \; \)です。

このように,すべて「かけ算」の式に直すことができれば,どこから計算しても大丈夫です。

\( \; 3\times 4\; \) を計算してから\(\; 2\; \) をかけても,\( \; 4\times \displaystyle\frac{1}{2} \; \) を計算してから\( \; 3\; \) にかけても,同じ結果となります。

たし算のみ,かけ算のみの式にすれば,計算は左から順にする必要はなく,どこから計算しても大丈夫です。

まとめ

今回は「計算順序」について解説しました。

【計算の順序】

① カッコの中

② 2乗,3乗など(累乗という)

③ \( \times ,\; \div \)

④ \( + ,\; – \)

※同じ順位どうしの場合 → 左から計算!

四則演算(+,-,×,÷)は原則として上の順序で行うことを,覚えて使えるようにしておきましょう!

今回は以上です。

最後までお読みいただき,ありがとうございました。

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