数学

リーグ戦の試合数は組合せ\( {}_n \mathrm{C} _r\) で簡単解決!

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本記事ではリーグ戦の総試合数を求める問題について2通りの方法を解説していきます。

結論から言うと、リーグ戦の総試合数は組合せ\( {}_n \mathrm{C} {}_r\) を使えば簡単に求まります。

それではさっそく見ていきましょう。

リーグ戦とは

リーグ戦とは、参加チームがどのチームとも1回だけ試合を行い、勝ち数を競い合う試合方法のことをいいます。

例えばサッカーワールドカップでは、予選に出場した32チームがA組からH組までの8組に分かれ、それぞれの組において各チームがどのチームとも1回試合をします。これがリーグ戦です。

ちなみにこのリーグ戦を勝ち抜いた16チームでトーナメント戦を行い、優勝チームが決まります。

2022年のサッカーワールドカップで日本チームはグループEでした。

星取表は以下の通りです。

表は横に見ていきます。日本はスペインに勝ち(○)、ドイツに勝ち(○)、コスタリカに負け(●)であることが分かります。

 リーグ戦の総試合数の求め方

では、このワールドカップのリーグ戦E組における総試合数の求め方を解説します。

表を見てください。

リーグ戦の場合このような表を使うことが多いです。

ここで総試合数を求めていきましょう。

自国のチーム同士では対戦しませんので対角線上には斜線を引きます。

残ったマス目のうち、白丸の数字の数が総試合数になります(①②③④⑤⑥)。

黒丸は試合数に数えません。同じ番号のマス目は同じ試合を示しているからです。

例えば①と❶は同じ試合です。

したがって、この場合の総試合数は\( 6\) 試合であることが分かります。

ではこれを計算で求める方法を考えてみましょう。

【リーグ戦の総試合数】計算方法1

白丸の数は次のようにして求めることができます。

「マス目の総数から対角線上の4マスを引き、2で割る」

したがって

\[ (4\times 4-4)\div 2=6\]

となり、答えは6試合であることが分かります。

\( 4\times 4 \) がマス目の総数です。

【リーグ戦の総試合数】計算方法2

組合せ\( {}_n\mathrm{C}_r \) を用いて計算する方法です。

4チームから2チームを選ぶと、その2チーム同士で1回だけ試合が行われます。

したがって、総試合数は4チームから異なる2チームを選ぶ選び方の数と同じになります。

組合せ\( {}_n\mathrm{C}_r \) を用いて計算すると

\[ {}_4\mathrm{C}_2=\frac{4\cdot 3}{2\cdot 1}=6 \]

となり、答えは6試合であることが分かります!

組合せ\( {}_n\mathrm{C}_r \)の基礎と各種公式については、次の記事も参考にしてみてください。

【二項係数】nCrの重要公式まとめ【覚え方と導き方も解説します】 このような悩みを解決します。 本記事では、組み合わせで登場する二項係数\({}_n\mathrm{C}_r...

このように組合せ\( {}_n\mathrm{C}_r \) を用いると簡単に試合数を求めることができます。

(参考)サッカーのワールドカップでは8つのリーグがあり、それぞれのリーグで6試合行われるので、リーグ戦をすべて合計すると\( 8\times 6=48 \) 試合行われたことになります

練習 リーグ戦の総試合数を求める

それでは練習問題を解いてみましょう。

練習1 5チームでリーグ戦を行うとき、総試合数は何試合か。

先ほどと同じように2通りの方法で解いてみます。

計算方法1

マス目の総数から対角線上の5マスを引いたマス目のうち、白丸をした半分が総試合数であることを利用して計算をします。

\[ (5\times 5-5)\div 2=10\]

答えは10試合となります。

※白丸の最後の番号⑩を見れば答えは答えは10試合であることがすぐに分かりますが、今回は計算で求める方法を考えています。

計算方法2

組合せの式を利用します。

5チームから2チームを選ぶと、その2チーム同士で1回だけ試合が行われます。

したがって、総試合数は5チームから異なる2チームを選ぶ選び方の数と同じになります。

組合せ\( {}_n\mathrm{C}_r \) を用いて計算すると

\[ {}_5\mathrm{C}_2=\frac{5\cdot 4}{2\cdot 1}=10 \]

となり、答えは10試合であることが分かります。

練習2 リーグ戦の総試合数を求める

もう1問解いてみましょう。

練習2 \( n \) チームでリーグ戦を行うとき、総試合数は何試合か。

\( n \) が出てきて難しそうですが、計算方法は同じです。

計算方法1

マス目の総数から対角線上の\( n \) マスを引いたマス目のうち、半分が総試合数であることを利用します。

\begin{align}
(n\times n-n)\div 2 &=\frac{n^2-n}{2}\\
&=\frac{n(n-1)}{2}
\end{align}

答えは\( \frac{n(n-1)}{2}\) 試合となります。

ちなみにこの\( n \) にチーム数を代入すると、リーグ戦の総試合数がすぐに求まります。

計算方法2

組合せの式を利用します。

\( n \) チームから2チームを選ぶと、その2チーム同士で1回だけ試合が行われます。

したがって、総試合数は\( n \) チームから異なる2チームを選ぶ選び方の数と同じになります。

組合せ\( {}_n\mathrm{C}_r \) を用いて計算すると

\begin{align}
{}_nC_2&=\frac{n\cdot (n-1)}{2\cdot 1}\\
&=\frac{n(n-1)}{2}
\end{align}

よって\( n \) チームのリーグ戦は\( \frac{n(n-1)}{2}\) 試合であることが分かりました。

 

以上でリーグ戦の総試合数の計算方法いついての解説は終わりです。

最後までお読みいただき、ありがとうございました。

数学・統計学
シグマ先生
数学講師/Udemyベストセラー講師/数学の苦手を治します/塾・予備校・高校講師歴20数年/分かりやすい解説/偏差値40から65へ/数学検定対策/数学で困っている人の役に立ちたい

妻・子供2人と4人暮らし。週末はキャンプやスキー、温泉旅行などアクティブに活動中/数学検定1級
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