【数学】ローン毎月支払額の計算式を高校数学の知識で導いてみた【２通りの解法】

今回は，ローンの計算でよく使われる次の式を，2通りの方法で導いてみます．

\begin{equation}
\fbox{$
\begin{aligned}[t]
毎月の返済額 =\frac{借入金額\times 利率\times (1+利率)^{返済回数}}{(1+利率)^{返済回数}-1}
\end{aligned}$}
\end{equation}

※「利率」は月利です．年利を12で割ったものを用います．

※「返済回数」は返済が終了するまでの月数で，たとえば10年返済の場合120か月となります．

【証明１】は分かりやすい方法ですが、やや長くなります

【証明２】はスパッと答えを導けますが、考え方が少し難しめとなります。

どちらも、高校までの知識で導けますので、是非チャレンジしてみてください。

ローン毎月返済額の式【証明１】

説明をスッキリさせるために，次の記号を使います．
\begin{align*}
& L：借入金額\\
& x ：毎月の返済額\\
& r：利率（月利）\\
& n：返済回数（返済月数）\\
& R=1+rとおきます．
\end{align*}

まず最初に$ L $円を借ります．これ以降「円」は省略します．

1か月後に，この$ L $に利子がつき
\[ L\times (1+r)=LR \]
となりますが、このタイミングで$ x $ を返済しますので
\[ （1か月後の残高）=LR-x \]

となります．

2ヶ月後は，この$ LR-x$に利子がつきますので

\begin{align*}
(LR-x)\times (1+r)&=(LR-x)\times R\\
&=LR^2-xR
\end{align*}

となりまが、先ほどと同様$ x$ を返済しますので
\[ （2か月後の残高）=LR^2-xR-x\]

となります．

この作業を繰り返していきます．

\begin{align*}
(1か月後の残高)&=LR-x \\
(2か月後の残高)&=(LR-x)R-x\\
&=LR^2-xR-x\\
(3か月後の残高)&=(LR^2-xR-x)R-x\\
&=LR^3-xR^2-xR-x\\
(4か月後の残高)&=(LR^3-xR^2-xR)R-x\\
&=LR^4-xR^3-xR^2-xR-x\\
&\cdots \\
(nか月後の残高)&=LR^n-xR^{n-1}-xR^{n-2}-\cdots -xR^3-xR^2-xR-x\\
&=LR^n-(1+R+R^2+R^3+\cdots +R^{n-1})x
\end{align*}

ここで$ 1+R+R^2+R^3+\cdots +R^{n-1}$ は，初項1，公比$ R$ ，項数$ n$ の等比数列の和なので，

\begin{aligned}[t]
初項a，公比r，&項数nである等比数列の和S_nの公式\\
S_n&=\frac{a(r^n-1)}{r-1}
\end{aligned}

を用いて

\[ 1+R+R^2+R^3+\cdots +R^{n-1}=\frac{R^n-1}{R-1} \]

となります．したがって

\begin{align*}
(nか月後の残高)&=LR^n-\frac{R^n-1}{R-1}x \tag{$*$}
\end{align*}

となりました．ここで，$ n$ か月後の残高は$ 0$ になるはずなので，$ (*)=0 $ とします．

\begin{align*}
&&LR^n-\frac{R^n-1}{R-1}x =0
%&&LR^n=\frac{R^n-1}{R-1}x
\end{align*}

これを$ x$ について解き、$ R=1+r$ に戻すと

\begin{eqnarray*}
x&=&\frac{LR^n(R-1)}{R^n-1}\\
&=&\frac{L(r+1)^n(r+1-1)}{(1+r)^n-1}\\
&=&\frac{Lr(r+1)^n}{(1+r)^n-1}
\end{eqnarray*}
となります．

この式を言葉で表現すると，次の式が求まります！

\begin{align*}
毎月の返済額 &=\frac{借入金額\times 利率\times (1+利率)^{返済回数}}{(1+利率)^{返済回数}-1}
\end{align*}

ローン毎月返済額の式【証明２】

先ほどと同様，次の記号を使います．
\begin{align*}
& L：借入金額\\
& x ：毎月の返済額\\
& r：利率（月利）\\
& n：返済回数（返済月数）\\
& R=1+rとおきます．
\end{align*}

「借入金額$ L$ を$ n$ ヶ月間ずっと借りていた場合の総額」と「返済する金額を月利$ r$ で貯金した総額」とが等しくなることを用います．

借入金額$ L$ を$ n$ ヶ月間ずっと借りたときの総額

\begin{align*}
&1か月後は L\times R=LR\\
&2ヶ月後は LR\times R=LR^2\\
&3ヶ月後は LR^2\times R=LR^3\\
&\cdots \\
&nヶ月後は LR^n \tag{A}
\end{align*}

返済する金額を月利$ r$ で貯金したときの総額

\begin{align*}
(1ヶ月後の貯金額)&=x\\
(2か月後の貯金額)&=xR+x\\
&=(1+R)x\\
(3か月後の貯金額)&=(xR+x)R+x\\
&=xR^2+xR+x\\
&=(1+R+R^2)x\\
(4か月後の貯金額)&=(xR^2+xR+x)R+x\\
&=xR^3+xR^2+xR+x\\
&=(1+R+R^2+R^3)x\\
&\cdots \\
(nか月後の貯金額)&=(1+R+R^2+R^3+\cdots +R^{n-1})x\\
&=\frac{R^n-1}{R-1}x \tag{B}
\end{align*}

\begin{align*}
(A)と(B)が等しくなるので\\
&LR^n=\frac{R^n-1}{R-1}x\\
これをxについて解き，R=1+rに戻すと\\
x&=\frac{LR^n(R-1)}{R^n-1}\\
x&=\frac{L(r+1)^n(r+1-1)}{(1+r)^n-1}\\
&=\frac{Lr(r+1)^n}{(1+r)^n-1}
\end{align*}

この式を，言葉で表現すると，次の式が求まります．

\begin{align*}
毎月の返済額 &=\frac{借入金額\times 利率\times (1+利率)^{返済回数}}{(1+利率)^{返済回数}-1}
\end{align*}