【図で理解】「10の位が同じで1の位の和が10」のインド式かけ算とその証明

「$10$ の位が同じで$1$ の位の和が$10$ 」である$2$ 桁×$2$ 桁のかけ算は暗算で簡単に求めることができます！

例えば

$$34\times 36$$

$$63\times 67$$

$$98\times 92$$

のようなかけ算です。

どの式も$10$ の位が同じ数で、$1$ の位の数の和が$10$ となっていますね。

これらを簡単に計算する方法は「インド式計算法」と呼ばれています。

本記事では、このインド式計算法のやり方を説明し、なぜ簡単に計算できるのかを図を用いて解説していきます。

最後に式を用いた証明も示しておきますので、ぜひ最後までお読みください。

インド式計算法のやり方

まず始めに、計算のやり方を説明します。ここでは「$10$ の位の数が同じで，$１$ の位の和が$10$ 」である$２$ 桁の数のかけ算を扱います。

※「イメージ」や「証明」は後半でご紹介します。

まず，共通な$10$ の位の数「$3$ 」と，その$3$ に$1$ を加えた「$4$ 」をかけ算します。

$$3\times 4= 12 \; \cdots ①$$

次に1の位の数「$4$ 」と「$6$ 」をかけ算します。

$$4\times 6=24 \; \cdots ②$$

最後に①②を順番に並べます。

$$\underline{12}_{①}\underline{24}_{②}=1224$$

これが答えです。簡単ですね！

 

ではもう一問やってみましょう。

まず，共通な$10$ の位の数「$6$ 」と，その$6$ に$1$ を加えた「$7$ 」をかけ算します。

$$6\times 7= 42 \; \cdots ①$$

次に$1$ の位の数「$3$ 」と「$7$ 」をかけ算します。

$$3\times 7=21 \; \cdots ②$$

最後に①②を順番に並べます。

$$\underline{42}_{①}\underline{21}_{②}=4221$$

これが答えです。

さすがインド式！めんどうな筆算も不要ですね。

インド式計算を図で解説

では、なぜこのように簡単に計算できるのかを、図を使って解説していきます。

まずは最初の例で考えていきましょう。

縦が$34$ ，横が$36$ の長方形を考えると，答えは長方形の面積になります。

$34=30+4,\;\; 36=30+6\;$に区切って考えます。図の$4$ つの部分の面積の和を求めればよいわけです。

この図で左下の長方形を切り取って，右上に移動すると，図のようにぴったり重なります。

ここで図の赤色をつけた長方形の面積は，右側の$6+4$が$10$ になるので

$$\begin{align} 30\times (30+10)&=30\times 40\\ &=1200\; \cdots ① \end{align}$$
下の部分にある長方形（青色）の面積は

$$4\times 6=24 \cdots ②$$

①と②を加えて
$$1200+24=1224$$

となります。

①の式を見てほしいのですが、$30 \times 40$ の$10$ の位の数が「$3$ 」と「$4$ 」になっています。
この「$3$ 」と「$4$ 」がインド式計算法に出てきた，$10$ の位の「$3$ 」と$3) に\( 1$ を加えた「$4$ 」となっているのです。

さらに、①式の一の位はともに$0$ ですので，かけ算をすると下$2$ 桁には必ず0が並びます。

これがインド式計算法で、だた並べても大丈夫な理由です。

では，2番目の例についても考えてみましょう。

縦が$62$ ，横が$68$ の長方形を考えます。

$63=60+3,\;\; 67=60+7\;$に区切って考えます。図の4つの部分の面積の和を求めます。

左下の長方形を切り取って，右上に移動すると，先ほどと同様ぴったり重なります。

ここで赤色をつけた長方形の面積は，右側の$7+3$が$10$ になるので

$$\begin{align} 60\times (60+10)&=60\times 70\\ &=4200\; \cdots ① \end{align}$$
下の部分にある青色の長方形の面積は

$$3\times 7=21 \cdots ②$$

となります。

①と②を加えて
$$4200+21=4221$$

と答えが導かれます。

先ほど同様で、①の式$60 \times 70$ の$10$ の位の数「$6$ 」「$7$ 」は，
インド式計算法に出てきた，$10$ の位の数「$6$ 」と$6$ に$1$ を加えた「$7$ 」となっています。

①式の一の位はともに$0$ ですので，かけ算をすると下$2$ 桁に$0$ が並びますね。

インド式計算法の証明

最後に，今回見てきた「インド式計算法」を証明します。

「$10$ の位が同じで$1$ の位の和が$10$ 」である$2$ 桁の整数をそれぞれ
$$10a+b,\quad 10a+c$$
とおきます。ただし$a$ は$1$ 以上$9$ 以下の自然数，$b,\; c$ は$0$ 以上$9$ 以下の整数です。

$1$ の位の数の和が$10$ なので
$$b+c=10 \; \cdots ③$$
が条件となります。

では，この2つの積を計算してみましょう。
$$\begin{align} (10a+b)(10a+c)&=10a\cdot 10a +10a\cdot c +10a\cdot b +bc\\ &=10a\cdot 10a+10a(b+c)+bc\\ &=10a\cdot 10a+10a\cdot 10 +bc\;\;  (b+c=10より)\\ &=10a(10a+10)+bc\\ &=100a(a+1)+bc\cdots ③ \end{align}$$

③式の$100a(a+1)$ は$a(a+1)$ を$100$ 倍したものです。
$10$ の位の数字「$a$」 とその$a$ に$1$ を加えた「$a+1$ 」をかけたものになっていますね。
これを$100$ 倍しているので，下$2$ 桁の数は$0$ となります。

③式の$bc$ は一の位どうしの積です。

以上の結果から，「$10$ の位の数$\; a\;$ とそれに$1$ を加えた$\; a+1 \;$ の積」と「$1$ の位どうしの積」を並べて書けば、それが答えになるのです。

まとめ

今回は「$10$ の位が同じで$1$ の位の和が$10$ 」である$2$ 桁×$2$ 桁のかけ算を、簡単に求める方法とその仕組みについて解説しました。

とても便利な計算ですが、ぜひ仕組みも合わせて理解しておきましょう。

図を使ってイメージで理解しておくことをおすすめします。